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IB的“灵魂”课程,如何展现数学之美?

看点知识论(TOK)是IB的一门特色课程。它像思维体操,纠正思维的误区,使人透视知识的逻辑和全貌,是IB课程的“灵魂”所在。下面学通教育集团老师将带我们一起来探讨一下数学这门看似“枯燥”的学科,它的多样性如何表现?又该如何在TOK中探索它的“美”。

谈到数学,我们想到更多的是其确定性,就好像1+1=2, 2+2=4,从理论上来讲,属于亘古不变,颠扑不破的真理,而恰恰也由于其确定性程度,亦使得数学本身成为国际学校IB DP灵魂课程TOK(认识论)中非常好的研究素材。

Why?因为越是看上去确定的,在TOK的课堂里,就越值得再三斟酌。

给大家看看在TOK的课堂里,关于数学,我们通常会和学生们讨论的那些事,关于美,也关于其他。

首先,给你一个小测试,下列哪一个最能描述数学?

A 一套知识

B 一种实用工具

C 哲学的基石

D 逻辑方法的完善

E 理解自然的关键

F 智力游戏

G 一种审美体验

或者,你会都选?也可以的,看你怎么去为你的理解辩护并正名。

数学既确定,又不确定,确定的是其各种基本定义以及演绎或归纳推理出来的各种公式,不确定的却恰恰如查尔斯达尔文似曾说过的一句话:

“A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.”

翻译成中文即“数学家是在黑暗的房间里找寻一只根本不存在的黑猫的盲人。”

“黑暗的房间,不存在的,黑猫,盲人”等,这些都暗示着与数学确定性对立的一面,而在TOK里,数学的这种确定性尤其会遇到很多挑战。

无论是TOK里列出的八大认知方法(语言,情感,直觉,记忆,信仰,想象,推理,感官感知),还是其他知识领域(艺术,历史,宗教,伦理,自然科学,人文科学,土著知识),一提到数学,可以立马有牵一发而动全身之感。比如:

数学与情感

嗯,对的,你没看错,数学如此理性的一个东西,也可以用来表达最不理性的情感。

比如,表达爱情:

无论是日本电影《博士的爱情方程式》中,博士说道的:

“你的生日220与我手表的编号284,刚好是一对相亲相爱的‘亲和数’:

220可以分解成284所有真约数的和,演算如下:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

284可以分解成220所有真约数的和:

1+2+4+71+142=220

感觉好有爱,有木有?

还有,韩国歌手K.will有一首名为《I need you》的MV里,出现过I Love You的数学公式:

女孩在黑板上写了一个数学公式“128根号e980”,让男主角解答,男主角怎么都算不出来,于是女孩拿起刷子擦掉公式的上半部分,就变成了英文的 I Love You。

亦或是著名哲学家兼数学家笛卡尔给他喜爱的瑞典公主寄出的最后一封情书里的那个经典爱情公式: r=a(1-sinθ) ,有没有感受到数学里的优雅和浪漫?

(注意到了吗?在极坐标中,看起来就像一个桃心,借此表达爱意)

再与时俱进点的例子:

现在粉丝们每当喜爱的明星官宣各种消息时,就会脑洞清奇地演绎出各种数字组合:

比如:吴奇隆,刘诗诗官宣怀孕:

粉丝这么理解:两个人名字的谐音数字加起来,576(吴奇隆)+644(刘诗诗)=1220,也即宣布怀孕的日期。

赵丽颖,冯绍峰官宣结婚:

2018年10月16日,演员赵丽颖生日当天,在微博晒出结婚证,宣布结婚。微博发布时间为10:07,这一数字正是结婚证上男主角冯绍峰的生日。

这些细节无论是有意为之还是无心插柳,最起码仍然感动了很多人不是吗?

好,暂且收起八卦的心,所有的这些例子,都可以让学生更深层次的思考:

“数学的客观性与其主观性,在多大程度上是可以调和的?”

数学与语言

思考问题:“数学如何像一门语言?”

对此,我们通常会让学生分组去做的一个热身活动:

步骤一: 每组发明创造出一系列代表数字的符号:

这些符号不能类似于任何其已知的数字系统

自行决定不同符号的数量(比如1-8, 1-9等)及它们可以如何与其它互相组合的方式

步骤二 : 向其他组解释其数字系统,并向大家展示:

如何表示: 5, 23, 39, 118 (任何其他数字都可)

让其他组用其符号系统,解决至少两至三个类似的随机例子

怎么样?你的脑海里现在会想到什么?

活动真正做完,你会发现学生们对于数学作为语言符号之一的理解会变得立马生动及有趣许多。

给你们看学生们给出的两组具体例子:


     

当然,如果活动及思考的问题仅止于此,未免太过肤浅。

接下来,我们需进一步带领学生继续思考的问题可以有如下:

给事物赋予价值有什么好处?

为什么我们通常使用的数字系统都以10为基础?

数字0的存在有什么益处?(比如:正数与负数的界限)

0与nothing(无)有什么区别?(比如:nothing代表不存在,而0是真实存在)

继续来看:

数学与推理/记忆

这是我经常会给学生放的一个视频:《亚瑟.本杰明的数学魔术表演》

看完之后,你的感想?

面对电脑的挑战,本杰明的表演让人不得不叹为观止。可如果你看了很多期国内《最强大脑》的类似表演,会不会觉得也没什么大惊小怪的?

关于记忆,推理,数学在电脑里,在人脑里,都到底分别经历了一场什么样的旅程?其扮演的角色又是怎样的?这都是我们需要思考的。

数学与艺术

关于数学与艺术,一个很有趣的例子会是围绕圆周率π的讨论:

网上有一首名为《圆周率之歌》的MV,歌曲背景及创作灵感,网上自己搜,这个视频的文字部分其实也有很多解释。

可以借此引出的探讨:

”你觉得圆周率π的表达/阐述(永无止尽),永远存在,并且我们正在逐渐发现关于它的越来越多的知识吗?“

此外,埃及金字塔的黄金比例也可以是拿来探讨数学与艺术之间很好的一个例子,我们借此可以讨论“’美‘在数学中有多重要?“这样的问题。

数学与历史

可思考的问题:“数据在历史中扮演着何种作用?”

毫无疑问,由此可带出的例子简直太多了,数据既可以佐证历史,也可以误导过去的事实。限于篇幅,不再举例。

但数学本身的发展史也是历史,无论是前苏联科学院院士A·H·柯尔莫戈洛夫曾把数学发展史划分为四个阶段,还是我国远古时代的结绳记事,彩陶里等大量多边形的的对称图案,还是后来的阿拉伯数字,四则运算的引进,我们借此引出的思考还可以有:

“数学知识能被称为所有知识体系中最具国际性的吗?”

“西方数学理论与东方数学理论有分歧吗?”

“亚洲学生被期望在数学方面做得很好。这一期望的依据又是什么?” ......

其他

除此,我们还经常会思考的一些问题包括但不局限于:

数学是被发现的还是被发明的?

如何解释文化或政治对数学知识的影响?

数学真理是否存在于神的思想中?(宗教)

基本的伦理真理和基本的数学真理一样确定吗?(伦理)

大自然/关于自然的书是用数学的语言书写的吗?(自然科学)

数学模型在人文科学中有多有用?(人文科学)

你觉得政府在多大程度上应支持“纯数学”里的无用研究?

......

可以知道的是,你会有很多答案,每个人都会有。

至此,希望能帮大家感受到除却数学那层高冷面纱后的一些奇妙及温柔之美。

另外,我猜,你们以为我精通数学,对不对?

相反,本人数学其实很差,可这并不妨碍我与学生们就此话题在TOK课堂里展开的某些探讨。

所以,除了数学本身,还想让大家知道的是:

TOK老师并非是要集大成的专家,老师亦无法要求且无需让学生去成为所有领域的通才,但具备开放的心及头脑,持续发问的精神,外加内省这个步骤,你,我也许都可以在无意识中沾一沾这个所谓的神秘课堂里的某些光芒。

那些看不见的光芒,隐形的翅膀,可以带我们飞得更高,走得更远一点。共勉!

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